LERNER, D. e SADOVSKY, P. O sistema de numeração: um problema didático. In: PARRA, Cecília; SAIZ Irmã; [et al] (Org.). Didática da Matemática: Reflexões Psicopedagógicas. Tradução por Juan Acuña Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. p. 73-155.
Capítulo 5
1. Como e porque se iniciou a pesquisa que é objetivo deste texto.
* Analisaram a dificuldade de acesso ao sistema de numeração pela criança.
* Para as Cç era um enigma a relação entre o agrupamento e a escrita numérica.
* Falta de vínculo entre “vai um” e “peço emprestado” com unidades, dezenas e centenas.
* Acertando ou errando as Cç não percebiam que os algarismos convencionais estão baseados no nosso sistema de numeração.
* As Cç elaboram conhecimentos do sistema de numeração antes de ingressarem na escola.
* Como que as Cç se aproximam deste conhecimento?
- Primeiro entender como funciona estes mecanismos
- Depois apresentar situações didáticas que favorecem estas relações.
* Estudo baseou-se em:
- Quais aspectos do sistema de numeração que as Cç consideram;
- Quais idéias? Quais problemas? Quais as soluções? Quais os conflitos?
* 50 Cç entre 5 e 8 anos foram entrevistadas.
2. História dos conhecimentos que as Cç elaboram sobre a numeração escrita?
* Ação foi centrada na compração de números e outra centrada na produção destes.
* Para as Cç: “quanto maior a quantidade de algarismos de um número, maior é o número”
* Posição do algarismo: “ o primeiro é quem manda”
Sistemas posicionais
* Numeração falada, as Cç baseiam-se nas informações faladas para desenvolver a escrita convencional.
Ex: 4000504 – para 4.504 (processo que não ocorre rapidamente)
3. Relações entre o que as Cç sabem e a organização posicional do sistema de numeração
* Diferença entre propriedade dos números e propriedade da notação numérica.
* Sistema de numeração (posicional), o valor representativo é obtido multiplicando por uma certa potência de base 10.
* A numeração falada dá origem a “produção aditivas” p. ex: 1000500 para 1.500.
* O sistema aditivo é mais transparente.
* O sistema posicional é menos transparente e mais econômico.
* As Cç adquire conhecimento, estabelecem duvidas a respeito do sistema de escrita e carregam isso para o ambiente escolar.
4. Questionamento do enfoque usualmente adotado para ensinar o sistema de numeração.
* O ensino da notação numérica é desenvolvido “passo a passo e aperfeiçoadamente”
* As Cç não estão dispostas a aceitar e não pode ser considerada como requisito em contextos significativos.
* Para ler e escrever números é imprescindível as unidades e dezenas.
* Mas na hora de resolver operações pode deixá-la de lado e pensar em algarismos alternativos.
* Compreender a notação numérica é o ponto de chegada após um longo e difícil percurso e não o ponto de partida.
* Alguma coisa esta falhando nas perguntas e respostas entre os professores e os alunos.
5. Mostrando a vida numérica da aula
Levar o aluno ao conflito da numeração que fala e como escreve.
O professor deve trabalhar com respostas corretas e erradas, as respostas não podem ser um problema e devem sim operar a favor do processo do grupo ou de cada um.
O trabalho em sala esta envolvido na provisoriedade e complexidade. Sendo inseparáveis.
Trabalho didático: trata-se de ensinar e aprender um sistema de operação.
Atividades básicas se constituem em quatro eixos: operar, ordenar, produzir e interpretar.
A. Situações didáticas vinculadas à relação de ordem
* Apresenta-se de duas formas:
Eixo da atividade formulada
Estratégia para resolver situações que não estão centradas nela
A.1. Uma proposta: comparar números
Sistema decimal de posição, a relação de ordem esta vinculada a ordenação do sistema.
Esta especificidade se mobiliza a partir de situações de comparação propostas as crianças.
Ex: lojinha na sala de aula.
Ordenar idade dos familiares, senhas, alturas das crianças....
Atividades de conceitualização centradas nos números:
- Formar com três algarismos determinados, todos os números possíveis de dois e três algarismos e ordená-los em sequencia...
A reflexão, conduzirá a uma compreensão da organização do sistema.
A.2 A proposta é produzir ou interpretar – a ordem é um recurso.
Trabalhar com números inseridos no uso social, estabelece sentido e torna possível o entendimento de como funcionam em diferentes contextos.
- Formar listas de preços, fazer notas fiscais: atividades de vendedores e compradores.
- Interpretar valor da nota; determinar o valor da fatura, o vencimento: atividades dos caixas e clientes, a aula transforma-se num espaço, o banco.
A sequencia oral é fundamental: pois recorre à sequencia escrita para reconstruir o nome do número.
A. 3 A busca de regularidades.
Além de trabalhar com os critérios para ordenar os números;
Deve-se trabalhar com as leis como os “dezes” precisam de dois, os “cens” precisam de três, depois do nove vem zero...
* A regularidade cumpre dois objetivos:
- torna possível formular problemas dirigidos a explicitar a organização do sistema;
- permite gerar avanços no uso da numeração escrita.
Trabalhar com enunciados mais abertos.
B. Situações centradas nas operações aritméticas.
Relacionar o sistema de numeração com as operações aritméticas.
As atividades (tradicional ou inovadora) devem reunir determinadas condições:
- A partir dos problemas formulados pelo uso da numeração escrita;
- Contemplar diferentes procedimentos;
- Admitir diferentes respostas;
- Gerar aprendizagem ao grupo ou a um membro;
- Favorecer o debate e a circulação da informação;
- Aproximar o uso escolar ao uso social da notação numérica.
ECHEVERRÍA, M. P. P.; POZO, J. I. Aprender a resolver problemas e resolver problemas para aprender. In: POZO, J. I. (Org.). A solução de problemas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1998.
O termo problema pode fazer referências a situações diferentes, em função do contexto.
Um dos Objetivos da educação básica: Preparar um sujeito solucionador de problemas.
Para isso se faz necessário as situações-problemas ao longo de toda a educação básica, em todas as áreas do conhecimento.
A solução dos problemas esta ligada a aprendizagem procedimental. As habilidades, o problema não esta nas habilidades e sim no conceito que envolve os mecanismos de competências.
A escola precisa não apenas ensinar a resolver problemas, mas também a propor problemas. Envolver o cotidiano, para estabelecer prática autônoma, espontânea e significativa.
O aluno mostra desconhecimento, pq não entende o significado da tarefa, por não terem conhecimento adequado.
Do exercício ao Problema:
Exercício: prática de condicionamento e repetição. (habilidades)
É importante para consolidar habilidades instrumentais básicas.
Problema: desperta novos conhecimentos, diferentes formas de intervir, necessita de conhecimentos prévios (competência)
Solução do problema exige uso de estratégias, tomada de decisão sobre o processo de resolução.
As ações exercitadas constituem um meio ou recurso instrumental necessário.
Indagar como as pessoas resolvem problemas, pode ajudar na solução de problemas.
A solução de problemas não é aquisição de estratégias gerais. Não servem a qualquer tipo de problema.
1) A solução de problemas como uma habilidade geral
As habilidades e os conhecimentos variam de acordo com o tipo de problema.
Todos os problemas exigem uma série de habilidades comuns e capacidade de raciocínio que se adaptarão a cada tipo de problema.
Não existem problemas totalmente mal definidos, estes pertencem a Ciências Sociais.
Tipos de Problemas:
Passos para a solução de um problema:
* Tipo dedutivo
* Tipo indutivo
* Pensamento produtivo
* Pensamento reprodutivo
* Problema Bem definido
* Problema Mal definido
Passos necessários para resolver problemas:
* Compreender o problema
* Conceber um plano
* Execução do plano
* Visão retrospectiva
* Fazer perguntas do seguinte tipo:
Existe alguma palavra, frase ou parte da proposição do problema que não entendo?
Qual a dificuldade do problema?
Qual é a meta?
Explicar aos colegas em que consiste o problema.
Quando é muito específico, tentar generalizar o problema.
Alguns procedimentos heurísticos de solução de problemas:
* Realizar tentativas por meio de ensaio e erro.
* Dividir o problema em subproblemas
* Decompor o problema
* Procurar problemas análogos
* Ir do conhecido até o desconhecido.
A solução de problemas como um processo específico:
Diferença entre especialistas e principiantes
Solução de problemas esta ligada a especificidade das habilidades e das estratégias.
Dependências do conteúdo e do contexto estão vinculadas aos processos cognitivos de aprendizagem e raciocínio.
Problemas próprios das áreas do conhecimento, demandam de conhecimentos específicos.
As habilidades e as estratégias são específicas a um determinado domínio.
A solução de um problema pelo especialista esta vinculado muito mais ao conhecimento específico do que uma maior capacidade cognitiva geral. Em função da prática, possuem uma perícia e habilidades para resolver o problema.
As estratégias pessoais de especialistas e principiantes:
Os especialistas são mais rápidos e erram menos e adotam estratégias diferentes dos principiantes.
Os especialistas reconhecem com maior facilidade o problema e usam o plano de ação adequado. Estratégias para frente. Mas evitam situações novas ou desconhecidas. Baseia-se em procedimentos técnicos.
Os principiantes Não tem suficientes conhecimentos prévio e habilidade. Estratégias para trás. Não evitam situações novas ou desconhecidas.
A especificidade das áreas de conhecimento
A matemática é o âmbito mais tradicional do estudo da solução de problemas.
Isso ocorre por ser uma disciplina formal ou abstrata onde o conteúdo se vê minimizado.
Permitindo propor problemas definidos e fechados. Demandando de uma sequencia de procedimentos.
A matemática não pode funcionar como uma linguagem sem conteúdo.
Quando se resolve o problema científico a tarefas matemáticas, o aluno não percebe significado.
A matemática deve estar inserida em todo o contexto das “Ciências” como prática contextualizada, articulada e significativa.
A aquisição de hábitos do raciocínio objetivo
Para se resolver um problema e necessário ter estruturas semânticas organizadas, a estrutura lógica do raciocínio.
Racionalidade pragmática: pensar está determinado pelo contexto e as metas da tarefa.
Raciocínio intuitivo: conhecimentos e teorias que os alunos chegam na sala de aula.
De modo geral costumam ser superficiais e insuficientes para problemas mais complexos.
Raciocínio científico: demanda de um conjunto de conhecimentos teóricos, levando ao raciocínio lógico que não são intuitivos.
O raciocínio científico não pode ser aplicado igualmente em todas as áreas e em todos os problemas. A melhor solução estará definida por critérios pragmáticos ou lógicos.
A transferência para a solução de problemas cotidianos
Constitui o problema mais difícil de ser superado.
Aprendam a usar de forma relativa e autônoma os conhecimentos em diferentes contextos.
A passagem do exercício para o problema, do uso não técnico para o técnico é um longo caminho que é preciso percorrer a sala de aula até a vida cotidiana.
Na vida cotidiana resolvemos vários problema, e as vezes o que aprendemos na escola costuma ser de pouca utilidade.
A ruptura não pode ser brusca.
